Elliott ra mắt Fulham vào năm 15 tuổi tại Cúp Liên đoàn bóng đá Anh 2018–19 vào ngày 25 tháng 9 năm 2018 trong trong trận thắng 3–1 trên sân của Millwall, vào sân phút thứ 81, thay cho Floyd Ayité.[2] Vào lúc 15 tuổi và 174 ngày anh ấy trở thành cầu thủ trẻ nhất ra mắt đội hình chính và trẻ nhất từng thi đấu tại giải.[3][4] Ngày 4 tháng 5 năm 2019, Elliott ra mắt Premier League sau khi vào sân thay người ở phút 88 cho André-Frank Zambo Anguissa trong trận thắng 1–0 trên sân Wolves. Nhờ đó, anh cũng trở thành cầu thủ trẻ nhất từng thi đấu tại Premier League, lúc 16 tuổi và 30 ngày, phá kỷ lục cũ lập bởi cầu thủ của Fulham, Matthew Briggs năm 2007.[5]

Tháng 7 năm 2019, anh được đồn sẽ chuyển sang Liverpool, và cũng nhận được sự chú ý của Real Madrid và Paris St-Germain.[6] Ngày 28 tháng 7, anh ký hợp đồng với Liverpool, chi tiết không được tiết lộ.[7]

Đầu năm 2020, Elliott từng được bầu vào vị trí thứ 17 trong Bảng xếp hạng "Cầu thủ trẻ xuất sắc nhất năm" (NxGn 2020)[8].